【統計一口メモ　第25話】さらなる95％信頼区間

名古屋市立大学大学院医学研究科 非常勤講師　薬学博士　松本一彦

95％信頼区間については、第6 話に母平均を推定するための手法としてとりあげました。
でも、95％信頼区間はそれだけではなく、中央値の信頼区間、死亡率のような割合に関する信頼区間もあります。

§１．中央値の信頼区間

佐久間昭「医学統計Q＆A」 金原出版(株)１）のデータ引用

正規近似に基づく方法： 正規分布の上側確率が α/2 となるパーセント点を Z_α/2 として，測定値のｙ(r)番目を下側、ｙ(n-r+1)を上側信頼限界値とする方法です。

• 手順１．中央値をエクセル関数MEDIAN で求めます。 中央値＝９
• 手順２．中央値の順位（ｒ_M）を(n-1)/2 で求めます。
  ｒ_M＝(n+1)/2＝(10+1)/2＝5.5
• 手順３．次の式から小さい順位 r を求めます。
  ｒ＝rM－1/2 x Z_α/2 x √n　　r＝5.5-(1/2)x1.96x√10＝2.3
• 手順４．ｒ＝2.3 を切り捨てて整数にします。 2.3≠2
• 手順５．ｙ(ｒ)＝ｙ（2）の観測値（ICIQ） 4 が下側の信頼区間になります。
• 手順６．次の式から上側の信頼区間を求めます。
  ｙ（n-r+1）＝ｙ（10-2+1）＝y(9)の値 11が上側の信頼区間になります。

95％信頼区間＝4～11

§２．割合の信頼区間 ＜一変量の解析＞

連続修正なしの正規近似法で求めます。

母出現率πは p±Z_α/2 √p(1-p)/n として標本出現率ｐで推定します。

• 手順１．標本出現率ｐは例題から 16/50＝0.32となります。
• 手順２．標準正規分布のZ_α/2 は Z(0.025)＝片側2.5％点でエクセル関数
  NORMSINV(0.975)＝1.9599≠1.96を用います。
• 手順3．上記の母出現率π式から95％信頼区間を計算します。
  0.32-1.96x√0.32(1-0.32)/50＜π＜0.32+1.96x√0.32(1-0.32)/50
  0.191～0.449 → 0.19～0.45

この方法はWald法と呼ばれます。ただ、Wald法は下限がマイナスになることがあるため、不等号を等号に変えて、2乗するScore法が提案されています。JMPはこのScore法を用いていますが、結果は0.21～0.46とほぼ同じ値を示します。

§３．割合の差の信頼区間 ＜二変量解析＞

芳賀敏郎「医薬品開発のための統計解析」サイエンティスト社第3部2)

• 手順１．各群の"有効出現率"ｐを求めます。
  p1＝4/15＝0.267
  p2＝7/10＝0.700
• 手順２．割合の差 d＝|p1－p2|を求めます。
  d＝|0.267-0.700|＝0.433
• 手順３．「割合の差」の標準誤差を求めます。
  T1, T2＝各群の合計（15、10）
  Se(d)＝√p1(1-p1)/T1＋p2(1-p2)/T2
  Se(d)＝√0.267x(1-0.267)/15＋0.7x(1-0.7)/10＝0.184
  割合の差の標準誤差＝0.184
  
• 手順４．Wald法で95%信頼区間を求めます。
  Z_α/2 ＝1.96 d＝0.443
  d-Z_α/2Se(ｄ)＜d＜d+Z_α/2Se(ｄ)
  0.443-1.96 x 0.184 ～ 0.443+1.96 ｘ 0.184
  95％信頼期区間 ＝ 0.072 ～ 0.795
  有効無効計(T) 旧処方41115 新処方7310計111425効果
• 手順５．Ｗａｌｄ改良法で95％信頼区間を求めます。
  Ｗａｌｄ法は左右非対称のため、手順４で求めた信頼区間は正確性に欠けるとして改良された手法は、個々の度数に１を加えてからＷａｌｄ法を適用します。この結果はＪＭＰの結果と一致します。

95％信頼区間 ＝ 0029 ～ 0.716

§４．オッズ比の95%信頼区間

芳賀敏郎「医薬品開発のための統計解析」サイエンティスト社第3 部2)

• 手順１．旧処方、新処方ごとにオッズを求めます。
  旧処方＝4/11＝0.3636
  新処方＝7/3 ＝2.3333
• 手順２．それぞれのオッズを対数変換して対数オッズ(logit)を求めます。
  旧処方＝LN(0.3636)＝-1.0117
  新処方＝LN(2.3333)＝0.8473
• 手順３．対数オッズの差をとって、対数オッズ比を求めます。
  対数オッズ比(ln(OR)＝0.8473-(-1.0117)＝1.8590
• 手順４．対数オッズの差の標準誤差を求めます。
  V[ln(OR)」＝1/f11+1/f12+1/f21+1/f22=1/4+1/11+1/7+1/3=0.8171
  f_ij＝観測値
  Se(d)＝√V[ln(OR)]＝0.9039
• 手順５．対数オッズ比の信頼区間を求めます。
  ln(OR)±Z_α/2 x Se(d) ＝ 1.859±1.96 x 0.9039 ＝ 0.087～3.631
• 手順６．EXP 関数で対数を元の値に戻します。
  EXP(0.087)＝1.091 EXP(3.631)＝37.74

オッズ比の95％信頼区間は1.091～37.74

１を含んでいないので、旧処方と新処方には有意な差がみられる。

• 1）佐久間昭 「医学統計Ｑ＆Ａ」 金原出版（株）1994年
• 2）芳賀敏郎 「医薬品開発のための統計解析」第3部 サイエンティスト社 2016年