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【統計一口メモ 第33話】ロジスティック回帰の応用―効力比―

名古屋市立大学大学院医学研究科 非常勤講師 薬学博士 松本一彦

臨床でも基礎でも無投与の場合で自然治癒により治療率pが0%ではなく、正の値0<p<1をとることがあります。一方、頭打ちという状態で投与量をいくら増やしても治療率が80%ということもあります。

§1.治療率≠0%、≠100%のロジスティック回帰
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表1

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手順1.統計一口メモ第32話でマスターしたソルバーを使って、x50値を求めます。予測値phatと-2対数尤度にそれぞれのモデル式を入れます。

表2

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実際には下の例のような入力式になります。$マークの位置に注意です。

例=K$13+(K$14-K$13)/(1+EXP(-K$16*(LOG($I5)-LOG(K$15))))

手順2.-2対数尤度のモデル式は-2xLN(BINOMDIST(f,n,phat,FALSE))を使います。したがって、ソルバーで求めるためには次のパラメータを準備します。

表3

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    ここに示した数値は、ソルバーで求めた数値です。実際には初期値としてp0には1、pinfには0.5、x50には10、bには5を仮に入れておきます。
Lは「SUM(-2対数尤度の範囲):=SUM(N4:N15)」の式を入れておきます。

手順3.ソルバーで「目的セルの設定」にLセル、「変数セルの変更」にp0からbまでの4セルを選択します。

手順4.ソルバー解析手順を踏んで表3の結果が表示されます。

結果:x50値は8.05となります。

§2.効力比

今回の話題は効力比を求めることでした。本例では生存率を用いた効力比を求めてみましょう。

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表4

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ソルバーで効力比cを求めるための作表は次の通りです。手順を追って解析してみましょう。

表5

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手順1.生存数fと使用動物数nから生存確率pの予測値phatを求める。
phatのモデル式

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    表5のphat=0.059をソルバーで求めるためには当該セルにモデル式「’=N$18+(N$19-N$18)/(1+EXP(-N$21*(LOG($K4)-LOG(N$20))))」を入力します。
実際には初期値として、表5の黄色セルx50にはxの101から450の中間の183、bは整数として10を入力します。cには0.5を入れておきます。p0とpinfは今回は0と1とします。表5に示した数値は既にソルバーで計算された数値です。なお、ソルバーで「変数セルの変更」を選択するときに、cセルとx50、bの3つのセルをクリックするように留意する。Phatは次の式。

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手順2.-2対数尤度を求めます。
表5の-2対数尤度=1.216をソルバーで求めるためには次の式に数値をあてはめます。
   =-2xLN(BINOMLIST(f,n,phat,FALSE)
   =-2xLN(BINOMLIST(0,10,0.059,FALSE))

手順3.「Lセル」に-2対数尤度の合計を求める式を入れます。
   例=SUM(N14:N15)

手順4.ソルバーを立ち上げ、「目的セルの設定」に「Lセル」を選択します。
「目標値」を〇最小値。「変数セルの変更」は「cとx50、b」を選択します。
今回は汎用化のために設定しているp0とpinfは対象から除きます。

手順5.ソルバーで「解決」した結果は、「効力比」がcセルの0.805で、薬剤A2は同じ効果を出すために、薬剤A1の1/0.85=1.24倍投与しなければならないということになります。また、「x50」は187.94、「b」は10.269、「L」は24.033となります。

手順6.検定のための準備:この効力比1.24倍が有意な差であるかどうかを検証したい。そのためには、効力比cを帰無仮説1.000で検定します。ソルバーを立ち上げて手順4から、cセルを除き、x50、b、Lの解を求めます。

手順7.χ2検定を実施します。2つのLが求まり、27.356-24.033=3.23がχ2値になります。p値をCHIDIST(χ2値、自由度1)で求めます。ここでは、0.068となり2群間に差はみられないという結果になります。

§3.JMPでの解

JMPでは「非線形回帰」を使って解析する。解法の詳細はグリー本1)を参照して下さい。結果は下表の通りでx50(187.9)、b(10.269)、c(0.805)およびp値0.068もエクセルと同値を示しています。

表6

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§4.PharmacoPharmaでの解2)

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以上

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